已知b^2=ac,求证:1/(a+b) ,1/2b,1/(b+c)成等差数列

1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+c+2b)/(a+b)*(b+c)
=(a+c+2b)/(ab+b^2+ac+bc)
已知b^2=ac
上式=(a+c+2b)/(ab+2b^2+bc)
=(a+c+2b)/b(a+c+2b)
=1/b
若成等差数列 1/(a+b)+1/(b+c) = 2*1/2b
=1/b
所以等式成立，为等差数列

要证 1/(a+b) ,1/2b,1/(b+c)成等差数列

只须证 1/(b+c)-1/2b=1/2b-1/(a+b)

只须证 (2b-b-c)/(2b(b+c))=(a+b-2b)/(2b(a+b))

即 (b-c)/(b+c)=(a-b)/(a+b)

即 b^2=ac

由已知 b^=ac

则得证

1/(a+b)+1/(b+c),(a+2b+c)/b(a+2b+c)=1/2b=1/2*(1/b)